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　　拐點的充要條件是：二階導數在這個點的左右兩側變號。二階導數等于0是必要條件，若三階導數不為0（前提存在），則必是拐點。三階導數也為0，結論不定。比如f(x)=x^4，0點的2 3階導數都是0，但0不是拐點。從集合的角度來說，必要條件的集合包含要證明的集合，充分條件的集合，是證明集合的子集?？傊?，必要條件的集合包含的范圍大些，充分的小些。

　　拐點的定義：

　　拐點，又稱反曲點，在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即曲線的凹凸分界點）。若該曲線圖形的函數在拐點有二階導數，則二階導數在拐點處異號（由正變負或由負變正）或不存在。

　　在生活中借指事物的發(fā)展趨勢開始改變的地方（例如：經濟運行出現回升拐點）。

　　拓展：

　　可以按下列步驟來判斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線y=f(x)的拐點：

　?。?）求f''(x)；

　?。?）令f''(x)=0，解出此方程在區(qū)間I內的實根，并求出在區(qū)間I內f''(x)不存在的點；

　　在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即連續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點）。若該曲線圖形的函數在拐點有二階導數，則二階導數在拐點處異號（由正變負或由負變正）或不存在。